Équations diverses avec z et son conjugué - Corrigé

Énoncé

Résoudre les équations suivantes.

1. \(z+5-i=3\overline{z}+2-5i\)

2. \(3 \overline{z}+4z=z-5i\)

3.  \(z\overline{z}=z+2\)

4.  \(2z^2+z\overline{z}=i\)

5.  \(3z+i\overline{z}=4-i\)

6. \(z\overline{z}=2z+i\)

Solution ou éléments de correction 

Méthode

On pose  \(z=x+iy\) . On reporte dans l'équation, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires. Voici les résultats :

1.  \(S= \lbrace \dfrac{3}{2}-i \rbrace\)

2. On a, pour tout  \(z\in \mathbb{C}\) ,  \(3 \overline{z}+4z=z-5i \iff 3(z+ \overline{z}) -5i \iff z + \overline{z} = - \dfrac{5}{3} i\) .
Or  \(z + \overline{z}\)  est un nombre réel donc l'équation proposée n'a pas de solution.

3. On pose  \(z=x+iy\) , avec  \(x\)  et  \(y\)  réels.
\(z\overline{z}=z+2 \iff x^2+y^2 = x+iy +2\)
\(\iff x^2-x-2 +y^2 -iy=0\)  
\(\iff x^2-x-2 +y^2 =0\)  et  \(y=0\)
\(\iff x^2-x-2=0\)  et  \(y=0\)
\(\iff (x=-1 \,\text{et} \,y=0 )\) ou ( \(x=2\)  et  \(y=0\) )
Donc :  \(S= \lbrace -1 ; 2 \rbrace\)

4.  \(S= \lbrace \dfrac{1}{2 \sqrt{\sqrt{3}}} + i \dfrac{\sqrt{\sqrt{3}}}{2} ;- \dfrac{1}{2 \sqrt{\sqrt{3}}} - i \dfrac{\sqrt{\sqrt{3}}}{2} \rbrace\)

5.  \(S= \lbrace \dfrac{13}{8}- \dfrac{7}{8} i \rbrace\)

6. \(S= \lbrace \dfrac{-\sqrt{3} + 2}{2} - \dfrac{1}{2}i; \dfrac{\sqrt{3} + 2}{2} - \dfrac{1}{2}i \rbrace\)